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空間直角坐標系（數(shù)學概念之一）

次瀏覽 | 更新時間：2023-05-17

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空間直角坐標系

數(shù)學概念之一

與空間解析幾何相似，為了確定空間中任意一點的位置，需要在空間中引進坐標系，最常用的坐標系是空間直角坐標系。

基本信息

中文名	空間直角坐標系
外文名	Space rectangular coordinate system
卦限	八個
適用范圍	數(shù)理科學
原點	（0，0，0）
坐標軸	x、y、z軸

收起

定義

空間任意選定一點O,過點O作三條互相垂直的數(shù)軸Ox，Oy，Oz，它們都以O為原點且具有相同的長度單位。這三條軸分別稱作x軸（橫軸），y軸（縱軸），z軸（豎軸），統(tǒng)稱為坐標軸。它們的正方向符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當右手的四個手指x軸的正向以角度轉(zhuǎn)向y軸正向時，大拇指的指向就是z軸的正向。這樣就構(gòu)成了一個空間直角坐標系，稱為空間直角坐標系O-xyz。定點O稱為該坐標系的原點。與之相對應的是左手空間直角坐標系。一般在數(shù)學中更常用右手空間直角坐標系，在其他學科方面因應用方便而異。

任意兩條坐標軸確定一個平面，這樣可確定三個互相垂直的平面，統(tǒng)稱為坐標面。其中x軸與y軸所確定的坐標面稱為xOy面，類似地有yOz面和zOx面。三個坐標面把空間分成八個部分，每一部分稱為一個卦限。如右圖所示，八個卦限分別用字母Ⅰ、Ⅱ、...、Ⅷ表示，其中含x軸、y軸和z軸正半軸的是第Ⅰ卦限，在xOy面上的其他三個卦限按逆時針方向排定，依次為第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；在xOy面下方與第Ⅰ卦限相鄰的為第Ⅴ卦限，然后也按逆時針方向排定依次為第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。

空間直角坐標系

空間點的直角坐標

取定空間直角坐標系O-xyz后，就可以建立空間的點與一個有序數(shù)組之間的一一對應關(guān)系。

設點M為空間的一點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面。設三個平面與x軸、y軸和z軸的交點依次為P、Q、R，點P、Q、R分別稱為點M在x軸、y軸和z軸上的投影。又設點P、Q、R在x軸、y軸和z軸上的坐標依次為x、y、z，于是點M確定了一個有序數(shù)組x，y，z。反之，如果給定一個有序數(shù)組x，y，z，可以在x軸上取坐標為x的點P，在y軸上取坐標為y的點Q，在z軸上取坐標為z的點R，然后點P、Q、R分別作垂直于x軸、y軸和z軸的三個平面，它們相交于空間的一點M，點M就是由有序數(shù)組x，y，z所確定的點。這樣一來，空間的點M與有序數(shù)組x，y，z之間就建立了一一對應的關(guān)系。把有序數(shù)組x，y，z稱為點M的坐標，記作M(x，y，z)，其中x稱為橫坐標、y稱為縱坐標、z稱為豎坐標。

原點的坐標為（0，0，0）；若點M在x軸上，則其坐標為（x，0，0）；同樣對于y軸上的點，其坐標是（0，y，0）；對于z軸上的點，其坐標為（0，0，z）；同樣，位于xOy平面上的點，其坐標為（x，y，0）；位于yOz平面上的點，其坐標為（0，y，z）；位于xOz平面上的點，其坐標為（x，0，z）。可見，位于坐標軸上、坐標面上和各卦限內(nèi)的點，其坐標各有特點。

空間兩點間的距離

利用點的坐標，可求出空間中兩點間的距離。

設A（x1,y1,z1）和B（x2,y2,z2）是空間兩點，過A和B各作三個分別垂直于坐標軸的平面，這六個平面圍成一個以AB為對角線的長方體，它的三條棱長分別是,由于A和B之間的距離d就是該長方體對角線AB的長度，且和都是直角三角形，故由勾股定理得

空間直角坐標系

這就是空間兩點間的距離公式。

特殊地，空間的點M（x，y，z）與原點O（x，y，z）之間的距離為

空間直角坐標系

參考資料

[1]

大地坐標系與空間直角坐標系的相互轉(zhuǎn)換_乘風莫邪_新浪 · 新浪[引用日期2021-07-25]

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