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群論
法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦發(fā)明的理論
在數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)中，群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數(shù)學(xué)的許多分支都有出現(xiàn)，而且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其它分支有重要影響。
群論的重要性還體現(xiàn)在物理學(xué)和化學(xué)的研究中，因為許多不同的物理結(jié)構(gòu)，如晶體結(jié)構(gòu)和氫原子結(jié)構(gòu)可以用群論方法來進行建模。于是群論和相關(guān)的群表示論在物理學(xué)和化學(xué)中有大量的應(yīng)用。
基本信息
| 中文名 | 群論 |
| 外文名 | Group Theory |
| 術(shù)語類別 | 數(shù)學(xué)概念 |
| 提出者 | 埃瓦里斯特·伽羅瓦 |
| 用途 | 數(shù)學(xué)、物理、化學(xué) |
| 領(lǐng)域 | 數(shù)學(xué) 抽象代數(shù) |
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引言
群的概念引發(fā)自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽羅瓦在19世紀30年代開創(chuàng)。在得到來自其他領(lǐng)域如數(shù)論和幾何學(xué)的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現(xiàn)代群論是非常活躍的數(shù)學(xué)學(xué)科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數(shù)學(xué)家發(fā)明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如置換群、子群、商群和單群等。
歷史
群論是法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦（Galois）的發(fā)明。伽羅瓦是一個極具傳奇性的人物，年僅21歲就英年早逝于一場近乎自殺的決斗中。
他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿貝爾（Niels Henrik Abel）等人也對群論作出了貢獻。
最先產(chǎn)生的是n個文字的一些置換所構(gòu)成的置換群，它是在研究當時代數(shù)學(xué)的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時，經(jīng)由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發(fā)展，并有成效地用它徹底解決了這個中心問題。某個數(shù)域上一元n次多項式方程，它的根之間的某些置換所構(gòu)成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，1832年伽羅瓦證明了：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”（見有限群）。由于一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群Sn，而當
時Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構(gòu)、正規(guī)子群等重要概念。應(yīng)當指出，A.-L.柯西早在1815年就發(fā)表了有關(guān)置換群的第一篇論文，并在1844～1846年間對置換群又做了很多工作。至于置換群的系統(tǒng)知識和伽羅瓦用于方程理論的研究，由于伽羅瓦的原稿是他在決斗致死前夕趕寫成的，直到后來才在C.若爾當?shù)拿爸脫Q和代數(shù)方程專論”中得到很好的介紹和進一步的發(fā)展。置換群是最終產(chǎn)生和形成抽象群的第一個最主要的來源。
在數(shù)論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判別式D的二次型類，即
，其中a、b、с為整數(shù)，x、y 取整數(shù)值，且
為固定值，對于兩個型的"復(fù)合"乘法，構(gòu)成一個交換群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克羅內(nèi)克于1870年在其代數(shù)數(shù)論的研究中也引進了有限交換群以至有限群。這些是導(dǎo)致抽象群論產(chǎn)生的第二個主要來源。
在若爾當?shù)膶Ｖ绊懴拢–.）F.克萊因于1872年在其著名的埃爾朗根綱領(lǐng)中指出，幾何的分類可以通過無限連續(xù)變換群來進行。克萊因和（J.-）H.龐加萊在對 "自守函數(shù)”的研究中曾用到其他類型的無限群（即離散群或不連續(xù)群）。在1870年前后，索菲斯·李開始研究連續(xù)變換群即解析變換李群，用來闡明微分方程的解，并將它們分類。這無限變換群的理論成為導(dǎo)致抽象群論產(chǎn)生的第三個主要來源。
A.凱萊于1849年、 1854年和 1878年發(fā)表的論文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯于1879年和E.內(nèi)托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推進了這方面認識。19世紀80年代，綜合上述三個主要來源，數(shù)學(xué)家們終于成功地概括出抽象群論的公理系統(tǒng)，大約在1890年已得到公認。20世紀初，E.V.亨廷頓，E.H.莫爾，L.E.迪克森等都給出過抽象群的種種獨立公理系統(tǒng)，這些公理系統(tǒng)和現(xiàn)代的定義一致。
在1896～1911年期間，W.伯恩賽德的“有限群論”先后兩版，頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限群的矩陣表示論后，有限群論已然形成。無限群論在20世紀初，也有專著，如1916年Ο.ю.施米特的著作。群論的發(fā)展導(dǎo)致20世紀30年代抽象代數(shù)學(xué)的興起。尤其是近30年來，有限群論取得了巨大的進展，1981年初，有限單群分類問題的完全解決是一個突出的成果。與此同時，無限群論也有快速的進展。
時至今日，群的概念已經(jīng)普遍地被認為是數(shù)學(xué)及其許多應(yīng)用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學(xué)、代數(shù)拓撲學(xué)、函數(shù)論、泛函分析及其他許多數(shù)學(xué)分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學(xué)科如拓撲群、李群、代數(shù)群、算術(shù)群等，它們還具有與群結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的其他結(jié)構(gòu)如拓撲、解析流形、代數(shù)簇等，并在結(jié)晶學(xué)、理論物理、量子化學(xué)以至（代數(shù)）編碼學(xué)、自動機理論等方面，都有重要的應(yīng)用。作為推廣“群”的概念的產(chǎn)物：半群和幺半群理論及對計算機科學(xué)和對算子理論的應(yīng)用，也有很大的發(fā)展。群論的計算機方法和程序的研究，已在迅速地發(fā)展。
就科學(xué)內(nèi)容而言，群論屬于數(shù)學(xué)范疇，在許多數(shù)學(xué)分支中都有它的應(yīng)用。它還被廣泛用于物理、化學(xué)及工程科學(xué)等許多領(lǐng)域，尤其是物理學(xué)成為受惠最多的學(xué)科。從經(jīng)典物理中對稱性和守恒律的研究到量子力學(xué)中角動量理論及動力學(xué)對稱性的探索再到同位旋、超荷和SU（3）對稱性在現(xiàn)代基本粒子物理中的應(yīng)用等無不閃耀著群論思想的光輝。粗略地說，我們經(jīng)常用群論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質(zhì)。它也跟物理方程聯(lián)系在一起。基礎(chǔ)物理中常被提到的李群，就類似與伽羅瓦群被用來解代數(shù)方程，與微分方程的解密切相關(guān)。
在物理上，置換群是很重要的一類群。置換群包括S3群，二維旋轉(zhuǎn)群，三維旋轉(zhuǎn)群以及和四維時空相對應(yīng)的洛侖茲群。洛侖茲群加上四維變換就構(gòu)成了Poincare群。
另外，晶體學(xué)中早期的關(guān)于晶體的各種結(jié)構(gòu)的問題中，也是靠群論中的費得洛夫群的研究給出了答案。群論指出，空間中互不相同的晶體結(jié)構(gòu)只有確定的230種。
在研究群時，使用表象而非群元是較方便的，因為群元一般來說都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和群元相同的性質(zhì)。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。
在許多研究群論的數(shù)學(xué)家眼中，也即指在抽象群論中，數(shù)學(xué)家關(guān)心的是各元素間的運算關(guān)系，也即群的結(jié)構(gòu)，而不管一個群的元素的具體含義是什么。舉一個具體的例子，根據(jù)凱萊定理，任何一個群都同構(gòu)于由群的元素組成的置換群。于是，特別是對研究有限群來說，研究置換群就是一個重要的問題了。
基本概念
替換定理
若
是群，則對于任一
，
。
子群
若
是群，H是G的非空子集并且 
也是群，那么稱H 為G的子群。
這條定理可以判定G 的子集是否為一個子群：
舉例
..., ?4, ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, 4,...
下列整數(shù)加法的性質(zhì)，可以作為抽象的群公理的模型。
- 對于任何兩個整數(shù)a和b，它們的和a+b也是整數(shù)。換句話說，在任何時候，把兩個整數(shù)相加都能得出整數(shù)的結(jié)果。這個性質(zhì)叫做在加法下封閉。
- 對于任何整數(shù)a,b和c，。用話語來表達，先把a加到b，然后把它們的和加到c，所得到的結(jié)果與把a加到b與c的和是相等的。這個性質(zhì)叫做結(jié)合律。
- 如果a是任何整數(shù)，那么。零叫做加法的單位元，因為把它加到任何整數(shù)都得到相同的整數(shù)。
- 對于任何整數(shù)a，存在另一個整數(shù)b使得。整數(shù)b叫做整數(shù)a的逆元，記為?a。
全體非零實數(shù)的乘法構(gòu)成一個群
對三個互不相同的有序?qū)ο蟮?種不同順序間的改變（包括不變的情況）構(gòu)成一個六階的群（這是一個有限的置換群的例子），它由此被標記為S3
應(yīng)用
數(shù)學(xué)
群論在數(shù)學(xué)上被廣泛地運用，通常以自同構(gòu)群的形式體現(xiàn)某些結(jié)構(gòu)的內(nèi)部對稱性。結(jié)構(gòu)的內(nèi)部對稱性常常和一種不變式性質(zhì)同時存在。如果在一類操作中存在不變式，那這些操作轉(zhuǎn)換的組合和不變式統(tǒng)稱為一個對稱群。
阿貝爾群概括了另外幾種抽象集合研究的結(jié)構(gòu)，例如環(huán)、域、模。
在代數(shù)拓撲中，群用于描述拓撲空間轉(zhuǎn)換中不變的性質(zhì)，例如基本群和透射群。
李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其結(jié)合了群論和分析數(shù)學(xué)，李群能很好的描述分析數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的對稱性。對這類群的分析又叫調(diào)和分析。
在組合數(shù)學(xué)中，交換群和群作用常用來簡化在某些集合內(nèi)的元素的計算。
物理
幾何晶體學(xué)的發(fā)展：
晶體點陣、點群、空間群這些概念的誕生以及他們在晶體學(xué)中的應(yīng)用。這個主要發(fā)展時間是 19 世紀末，20 世紀初，代表人物是熊夫利（Sch?neflies，德國猶太人）、赫爾曼（Hermann，德國人）、毛古因（Mauguin，法國人）。)
對稱性與守恒量之間的關(guān)系：
代表人物是諾特（Noether，女士，德裔猶太人）。她沒得諾獎，不過這個不影響她本身的偉大。諾特定理的基本內(nèi)容是“any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law”，也可以說是任何一個保持拉格朗日量不變的微分算符，都對應(yīng)一個守恒的物理量。
量子力學(xué)：
代表人物是維格納（Wigner，匈牙利猶太人）。他也因為這方面的研究獲得了1963年的諾貝爾物理獎。他的獲獎原因，原話是“for his contributions to the theory of the atomic nucleus and the elementary particles, particularly through the discovery and application of fundamental symmetry principles”。Wigner 有一本書，叫《Group theory and its applications to the quantum mechanics of atomic spectra》，1931 年寫的。也就是在這個之后，在物理學(xué)問題的研究中使用對稱性的知識徹底地成為了一種思維。
化學(xué)
最具代表性的領(lǐng)域是理論化學(xué)，很關(guān)鍵的一個人物是鮑林（Pauling）。他是第一個將量子力學(xué)基本原理、分子軌道、分子設(shè)計這些概念引入到化學(xué)研究中的人。也是我們現(xiàn)在公認的量子化學(xué)、分子生物學(xué)的開創(chuàng)人。
化學(xué)領(lǐng)域中，比如晶體學(xué)、空間群和點群描述分子對稱性和晶體對稱性。這些對稱性位于這些系統(tǒng)的化學(xué)和物理表現(xiàn)的底層，而群論使簡化對這些性質(zhì)的量子力學(xué)分析成為可能。例如，群論被用來證實在特定量子級別間不出現(xiàn)光學(xué)躍遷簡單的因為涉及到了狀態(tài)的對稱性。
群不只對評定在分子中蘊含的對稱性有用，而且令人驚奇的它們還可以預(yù)測出分子的對稱性有時候可以改變。姜-泰勒效應(yīng)是高對稱的分子的變形，此時，在通過分子的對稱運算相互關(guān)聯(lián)的一組可能基態(tài)中，該分子將采納一個特定的低對稱的基態(tài)。
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