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狄利克雷L函數(shù)
狄利克雷L函數(shù)，又稱對應(yīng)于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函數(shù)。
基本信息
| 中文名 | 狄利克雷L函數(shù) |
| 應(yīng)用 | 數(shù)學(xué) |
| 意義 | 狄利克雷級數(shù) |
| 性質(zhì) | 復(fù)變量函數(shù) |
狄利克雷L函數(shù)
正文
又稱對應(yīng)于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函數(shù), 即函數(shù)，其中
,Ⅹ(n)是模q的一個特征，復(fù)變數(shù)
。它在
時就是黎曼ζ函數(shù)。這類函數(shù)最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算術(shù)級數(shù)中的素數(shù)分布問題時引進的。它的性質(zhì)和作用，都與黎曼ζ函數(shù)類似，在許多數(shù)論問題中有重要應(yīng)用。它的主要性質(zhì)有：
① 當(dāng)
時，
，式中
表示對全體素數(shù)求積。因而
。
③ 當(dāng)Ⅹ是模q的非主特征時，一定存在惟一的一個模q*，使當(dāng)時，有
④ 當(dāng)Ⅹ是模q的原特征時,
可解析開拓為整函數(shù)，且滿足函數(shù)方程
式中
τ(Ⅹ)為僅與Ⅹ有關(guān)的常數(shù)，且滿足
的共軛特征，即
⑤ 對任意的模q的特征Ⅹ，有
。
⑥設(shè)Ⅹ是模q的原特征，那么
是L(s,Ⅹ)的一級零點，稱為“無聊零點”；可能有的其他零點（稱為“非無聊零點”）一定都位于帶形區(qū)域
中;L(s,Ⅹ)確有無窮多個非無聊零點。
⑦ 設(shè)
，以
表在區(qū)域，
中的零點個數(shù)。因此，當(dāng)Ⅹ 是模q的原特征和
時，有
⑧ 設(shè),
，以
表 在區(qū)域
,中的零點個數(shù)。再設(shè)
，其中Σ表對模q的所有特征求和。因此，當(dāng)時，有
。此結(jié)果已被改進和推廣，通常稱之為L函數(shù)的零點密度定理。
⑩ 存在絕對正常數(shù)X1，使得對任意固定的模q,在所有的函數(shù)
中，僅可能除去一個例外函數(shù)外，均在區(qū)域
內(nèi)無零點。如果這樣的例外函數(shù) 存在，那么塣一定是模q的實的非主特征，且 在上述區(qū)域內(nèi)只有一個一級實零點戓。這一性質(zhì)是狄利克雷L函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)的一個主要差別。研究對應(yīng)于實特征的L函數(shù)的實零點，是L函數(shù)論的最重要問題之一。
A. 佩奇于1935年證明了：存在絕對正常數(shù)
，使得對任意的實原特征Ⅹ modq，
，必有
。由此可推出，存在絕對正常數(shù)
，使得對任意的實特征 Ⅹ modq，，當(dāng)時
，
。
C.L.西格爾于1936年證明了：對任給的正數(shù)ε，存在正常數(shù)
，使得對任意的實原特征Ⅹmodq,，必有。由此推出，對任給正數(shù)ε，必有正常數(shù)
，使得對任意的實特征 Ⅹ modq，，當(dāng)時
， 。
C. L. 西格爾的結(jié)果雖然優(yōu)于A. 佩奇的結(jié)果，但是常數(shù)
和
至今沒有辦法計算出來。
從性質(zhì)⑩、?、?可推得有余項估計的算術(shù)級數(shù)中的素數(shù)定理（見素數(shù)分布）。類似于黎曼假設(shè)，有所謂廣義黎曼假設(shè)，即猜測所有的狄利克雷L函數(shù)的非無聊零點都位于直線
上，通常簡記作GRH。大量的數(shù)值計算以及理論上的探討都支持這一假設(shè)，但它至今還沒有被證明或否定。從GRH可推出一系列重要的數(shù)論結(jié)果，雖然都是一些假設(shè)性的結(jié)果（其中有的已被無條件地證明了），但是卻指出了研究L函數(shù)零點的重要意義和方向。
參考書目
H.Davenport,Multiplicative Number Theory,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1980.
配圖
狄利克雷L函數(shù)
零點
若 χ 是原特征，χ( ? 1) = 1，則 L(s,χ) 在 Re(s)
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