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堆疊素數(shù)論
華羅庚所著的數(shù)論著作
《堆壘素數(shù)論》是1940年（民國二十九年），國立西南聯(lián)合大學(xué)的教授華羅庚在一個吊腳樓上，用八個月完成了第一部數(shù)學(xué)專著。本書成書于1940-1941年（一說1939-1941年）間，最初投交蘇聯(lián)科學(xué)院發(fā)表。但由于1941-1945的戰(zhàn)爭條件，延至1947年在蘇聯(lián)以俄文出版，后來于1953由中國科學(xué)院出版中文版。1957年中文版經(jīng)修訂后再版。
《堆壘素數(shù)論》
華羅庚當(dāng)年發(fā)現(xiàn)陳景潤，就是因為陳景潤在華羅庚寫的《堆疊素數(shù)論》中發(fā)現(xiàn)了一個錯誤，并且寫信告訴了他。而那時候，陳景潤就是一個默默無聞的小人物。按這里的說法，正是一個“民間科研者”。
數(shù)論與或然數(shù)學(xué)的發(fā)展
7.1數(shù)論
7.1.1素數(shù)分布
費馬數(shù)Fn = +1, n = 0,1,2,…
梅森數(shù)Mp = 2p-1,其中p為素數(shù)
檢驗梅森數(shù)是否為素數(shù)的方法稱為盧卡斯―萊默檢驗，例如, 用盧卡斯―萊默檢驗判斷M5是否為素數(shù)，因M5=25-1=31,于是可作下述計算:
U(0)=4,
U(1)=(42-2)(mod 1)=14(mod31)=14,
U(2)=(142-2)(mod31)=194(mod31)=8,
U(3)=(82-2)(mod31)=62(mod31)=0
由于U(3)= 0,M5必為素數(shù).
利用因數(shù)表研究素數(shù)
拉恩于(1659年)發(fā)表了2.4萬以內(nèi)的因數(shù)表;
佩爾(1668年)擴(kuò)大至10萬;
19世紀(jì)不少學(xué)者算出了1000萬以內(nèi)的所有數(shù)的因數(shù)表，其中布拉格大學(xué)的庫利克為此花費了20年的業(yè)余時間
素數(shù)定理
若用π(n)表示不超過n的素數(shù)的
哥德巴赫猜想(1742年)
每個偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和；每個奇數(shù)都是三個素數(shù)之和
哥德巴赫猜想的研究進(jìn)展
數(shù)學(xué)家哈代和李特爾伍德(英國,1923年)在廣義黎曼猜想正確的前提下，有條件地證明了每個充分大的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和以及幾乎所有偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和.
維諾格拉多夫(1937年),無條件地證明了奇數(shù)哥德巴赫猜想，即每個充分大的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和
布朗(挪威1919年)證明了：每個大偶數(shù)都是兩個素因子個數(shù)均不超過9的整數(shù)之和(記為9 + 9,記號k + l表示大偶數(shù)分解為不超過k個奇素數(shù)的積與不超過l個奇素數(shù)的積之和，下同)
布赫夕塔布的4 + 4(1940),瑞尼的l+c (c為一不確定大數(shù))(1948)和庫恩的a+b (a+b≤6)(1954);
王元的2+3(1957)和潘承洞的1+5(1962),到1965年，歐洲數(shù)學(xué)家邦別里等三人差不多同時證明了1 + 3;1966年，中國數(shù)學(xué)家陳景潤宣布證明了1+2(1973年發(fā)表詳細(xì)證明)
陳景潤(1933~1996)簡介
圖7.1華羅庚(右)與陳景潤(左)
7.1.3費馬最后定理
費馬猜想:對每個正整數(shù)n≥3,方程xn + yn = zn均沒有正整數(shù)解(x, y, z).
費馬本人利用無限下降法證明了n=4時，費馬猜想成立.
1825年年僅20歲的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷和年過七旬的法國數(shù)學(xué)家勒讓德各自獨立地證明了n = 5的情形,1839年法國數(shù)學(xué)家拉梅證明了n = 7的情形.
歐拉的整數(shù)分解的"定理":
由a + b 形式的數(shù)所形成的數(shù)系(記為 ,a,b為任意整數(shù))中，有唯一因子分解定理成立，即每一個整數(shù)都可唯一地分解為這個數(shù)系中數(shù)的乘積.
后來才知道，對形如 的數(shù)系，唯一因子分解定理并不總是成立的，例如在數(shù)系 中,6 = 3×2 =(1+ )(1- ),就有兩種分解方式。事實上，能保證唯一因子分解定理成立的數(shù)系 只有9種
志村-韋伊―谷山猜想――費馬猜想的等價命題
7.1.4 讓我們教猜想吧
費馬猜想是只"會下金蛋的鵝"
1966年菲爾茲獎獲得者，英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞(1929~)認(rèn)為:"與其它自然科學(xué)的情況一樣，數(shù)學(xué)中的一些發(fā)現(xiàn)也要經(jīng)過幾個階段才能實現(xiàn)，而形式證明只是最后一步。最初階段在于鑒別出一些重要的事實，將它們排列成具體含義的模式，并由此提煉出看起來很有道理的定律或公式。接著，人們用新的經(jīng)驗事實來檢驗這種公式。只是到了此時，數(shù)學(xué)家們才開始考慮證明問題."
958年菲爾茲獎獲得者，突變理論的創(chuàng)立者，法國數(shù)學(xué)家托姆用半開玩笑的態(tài)度說:"嚴(yán)格性是一個拉丁名詞。我們會想起僵死(rigormorits),即僵化的尸體。我要把數(shù)學(xué)分為以下的三類：第一，以嬰兒搖籃為標(biāo)記。這是'活的數(shù)學(xué)'允許改變，澄清，完成證明，反對，反駁。第二，以十字架為標(biāo)記。這是墳?zāi)股系氖旨堋Ｗ髡呗暶魉淹耆珖?yán)格，具有不朽的正確性。這類工作將構(gòu)成'墳?zāi)箶?shù)學(xué)'.第三，以教堂為標(biāo)記。這是外部的權(quán)威，由高級教士組成，判斷哪些工作已成為'墳?zāi)箶?shù)學(xué)'."
波利亞認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教育中,"證明與猜想，這兩類推理即論證的與合情的"都必須教給學(xué)生,"在有些情況下教猜想比教證明更為重要."因此，波利亞強(qiáng)烈的呼吁:"讓我們教猜想吧!"
7.2 概率論
7.2.1 點的問題及數(shù)學(xué)期望
概率論源于15世紀(jì)下半葉的博奕問題的研究.
點的問題(1654年)
在兩個技巧相當(dāng)?shù)馁€徒A和B之間進(jìn)行賭博,A獲得2點或2點以上時為獲勝者,B則需獲得3點或3點以上時為獲勝者。如果通過四次投骰子后就停止賭博，問此時如何分配賭金.
帕斯卡的解法
帕斯卡利用自己對楊輝三角(見第二章)的研究這樣解決這個問題：如果用 表示0出現(xiàn)四次的情況數(shù), 表示0出現(xiàn)三次的情況數(shù)等等。于是上述點問題的解是:
( + + ):( + )=(1+4+6):(4+1)=11:5.
在一般情況下，若A需要至少m點取勝,B需要至少n點取勝，則可選擇揚輝三角的第m+n行，求出該行中的前n個元素和α與后m個元素和β,并按α:β之比來分配賭金.
費馬的解法
分別用0,1代表A,B在一次投骰子時成為獲勝者，然后計算0,1兩種字母在每次取4個的16種排列:
0000 0001 0110 1101
1000 1100 0101 1011
0100 1010 0011 0111
0010 1001 1110 1111
在這16種排列中,0至少出現(xiàn)2次的情況有11種，而1至少出現(xiàn)3次的情況有5種。由此費馬認(rèn)為，賭金應(yīng)按11:5來分配.
數(shù)學(xué)期望"概念的的產(chǎn)生(荷蘭數(shù)學(xué)家，物
賭局開始之前，對每一個賭徒來說就已有了關(guān)于結(jié)局的一種"期望",如果共有N種等可能的結(jié)果，其中,n種結(jié)果使他獲得賭金為a,其余結(jié)果使他獲賭金為b,則他的期望為
7.2.2 概率理論的發(fā)展
隨機(jī)現(xiàn)象
隨機(jī)現(xiàn)象從個體上看，似乎并沒有什么規(guī)律可言，但當(dāng)它們大量出現(xiàn)的時候，在總體上就會呈現(xiàn)出某種規(guī)律，即大數(shù)規(guī)律.
伯努利大數(shù)定理(1713年):
若p是出現(xiàn)單獨一次事件的概率,q是不出現(xiàn)該事件的概率，則在n次試驗中該事件至少出現(xiàn)m次的概率，等于二項式(p+q)n的展開式中從pn項到包括pmqn-m為止的各項之和
棣莫弗―拉普拉斯定理。又稱為"中心極限定
理"
拉普拉斯(1812)明確表述了概率論的基本定
義和定理。給出了概率的古典定義，廣泛應(yīng)用了分析工具處理概率的問題，將以往零散的研究成果系統(tǒng)化，并將概率論的研究方法從組合技巧發(fā)展到分析方法，使概率論研究進(jìn)入了一個新的發(fā)展階段.
19世紀(jì)下半葉，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫
(1821~1894)與他的學(xué)生馬爾可夫(1856~1922)利用極限理論研究概率論，取得了突出的成就。建立了關(guān)于獨立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律，使貝努利和泊松的大數(shù)定律成為其特例。切比雪夫還將棣莫弗―拉普拉斯極限定理推廣為更一般的中心極限定理."馬爾可夫鏈"則是概率論中的重要理論
概率論在整個18與19世紀(jì)成了熱門學(xué)科,
7.2.3 概率論的公理化
貝特朗(法國,1899年)提出的概率論悖論，將矛頭直指概率論基本概念
20 世紀(jì)初，由勒貝格創(chuàng)立的測度論和積分論為概率的研究提供了新的手段
柯爾莫戈洛夫(前蘇聯(lián),1933年)建立概率論的公理化體系
7.3 數(shù)理統(tǒng)計
數(shù)理統(tǒng)計是通過樣本數(shù)據(jù)的分析預(yù)測整體狀態(tài)的數(shù)學(xué)理論與方法。該分支研究的數(shù)據(jù)帶有隨機(jī)性，因此，它與概率研究有著密切的聯(lián)系
數(shù)理統(tǒng)計則起源于17至18世紀(jì)地質(zhì)與生物進(jìn)化統(tǒng)計的研究，在20世紀(jì)形成了用數(shù)學(xué)方法研究統(tǒng)計規(guī)律的專業(yè)分支，是形成較晚的數(shù)學(xué)分支
是使用數(shù)學(xué)方法系統(tǒng)研究生物統(tǒng)計的第一人。他潛心研究數(shù)據(jù)的分布理論，并先后提出標(biāo)準(zhǔn)差，正態(tài)曲線，概率，相關(guān)等一系列數(shù)理統(tǒng)計學(xué)名詞和概念。致力于大樣本的研究，在第一次世界大戰(zhàn)期間，皮爾遜還用統(tǒng)計方法處理過大量的與戰(zhàn)爭有關(guān)的特殊計算.
他在釀酒公司擔(dān)任釀造化學(xué)技師期間，開創(chuàng)小樣本統(tǒng)計理論, 1908年，提出了t分布函數(shù),t檢驗，此舉成為統(tǒng)計推斷理論發(fā)展史上的里程碑.
美國數(shù)學(xué)家弗歇(1890~1962)
他是另一個數(shù)理統(tǒng)計的奠基人。他從事數(shù)理統(tǒng)計在農(nóng)業(yè)科學(xué)和遺傳學(xué)中應(yīng)用的研究。開創(chuàng)了試驗設(shè)計，方差分析，并確立了統(tǒng)計推斷的基本方法.20世紀(jì)30―50年代，弗歇成為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)研究的中心人物并建立了自己的學(xué)派。他所研究的成果，實用價值卻很大。在他的手里，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)脫離生物計量學(xué)的范圍獲得獨立。他所提出的z分布由他的學(xué)生改進(jìn)后被稱為F分布(用他的名字Fisher的第一個字母命名),現(xiàn)在廣泛使用的方差分析，實驗設(shè)計，參數(shù)估計
1946年瑞典數(shù)學(xué)家克拉梅爾出版了《統(tǒng)計數(shù)學(xué)方法》,這部書收集了半個多世紀(jì)以來的數(shù)理統(tǒng)計研究成果，它標(biāo)志著數(shù)理統(tǒng)計作為一門獨立的數(shù)學(xué)分支正式確立.
第二次世界大戰(zhàn)中，由于軍事的需要，數(shù)學(xué)家沃爾德(1902~1950)創(chuàng)立了"序貫分析法",許多數(shù)理分支，如參數(shù)估計，都受到這種理論的影響而得到發(fā)展.
1940年代之后，數(shù)理統(tǒng)計的學(xué)派開始多元化，美國逐漸成為又一個數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的研究中心.
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