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勒貝格測(cè)度（1902年勒貝格提出的標(biāo)準(zhǔn)方法）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

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勒貝格測(cè)度

1902年勒貝格提出的標(biāo)準(zhǔn)方法

勒貝格測(cè)度是賦予歐幾里得空間的子集一個(gè)長(zhǎng)度、面積、或者體積的標(biāo)準(zhǔn)方法。它廣泛應(yīng)用于實(shí)分析，特別是用于定義勒貝格積分?？梢再x予一個(gè)體積的集合被稱為勒貝格可測(cè)；勒貝格可測(cè)集A的體積或者說測(cè)度記作λ(A)。一個(gè)值為∞的勒貝格測(cè)度是可能的，但是即使如此，在假設(shè)選擇公理成立時(shí)，R的所有子集也不都是勒貝格可測(cè)的。不可測(cè)集的“奇特”行為導(dǎo)致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個(gè)結(jié)果。

基本信息

中文名	勒貝格測(cè)度
外文名	Lebesgue measure
提出時(shí)間	1902年
領(lǐng)域	數(shù)理科學(xué)
所屬學(xué)科	測(cè)度論

歷史

勒貝格在1901年描述勒他的測(cè)度，隨后在第二年他描述了勒貝格積分。二者都是作為他在1902年的博士論文的一部分發(fā)表的。

例子

1.如果A是一個(gè)區(qū)間

，那么其勒貝格測(cè)度是區(qū)間長(zhǎng)度

。開區(qū)間

的長(zhǎng)度與閉區(qū)間一樣，因?yàn)閮杉系牟钍橇銣y(cè)集。

2. 如果A是區(qū)間

和

的笛卡爾積，則它是一個(gè)長(zhǎng)方形，測(cè)度為它的面積

。

3.康托爾集是一個(gè) 勒貝格測(cè)度為零的不可數(shù)集的例子。

性質(zhì)

上的勒貝格測(cè)度有如下的性質(zhì)：

1. 如果A是區(qū)間

的笛卡爾積，那么A是勒貝格可測(cè)的，并且

其中

表示區(qū)間I的長(zhǎng)度。

2. 如果A是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)兩兩互不相交的勒貝格可測(cè)集的并，那么A也是勒貝格可測(cè)的，并且λ(A) 就是這些可測(cè)集的測(cè)度的和（或無窮級(jí)數(shù)的和）。

3. 如果A勒貝格可測(cè)的，那么它的補(bǔ)集（相對(duì)于 R）也是可測(cè)的。

4. 對(duì)于每個(gè)勒貝格可測(cè)集A，

。

5. 如果A與B是勒貝格可測(cè)的，且A是B的子集，那么

。 (由 2, 3 及 4可得。)

6. 可數(shù)多個(gè)是勒貝格可測(cè)集的交或者并仍然是勒貝格可測(cè)的。 (由2，3 可得)。

7. 如果A是一個(gè)開集或閉集，且是 R(甚至Borel集，見度量空間，待補(bǔ))的子集，那么A是勒貝格可測(cè)的。

8. 如果A是一個(gè)勒貝格可測(cè)集，并有

(零測(cè)集)，則A的任何一個(gè)子集也是零測(cè)集。

9. 如果A是勒貝格可測(cè)的，x是 R中的一個(gè)元素，A關(guān)于x的平移（定義為

）也是勒貝格可測(cè)的，并且測(cè)度等于A.

10. 如果A是勒貝格可測(cè)的，

，則

關(guān)于

的擴(kuò)張（定義為

）也是勒貝格可測(cè)的，其測(cè)度為

。

11. 更廣泛地說，設(shè)T是一個(gè)線性變換，A是一個(gè) R的勒貝格可測(cè)子集，則T(A)也是勒貝格可測(cè)的，其測(cè)度為

。

12. 如果A是R的勒貝格可測(cè)子集，f是一個(gè)A到R上的連續(xù)單射函數(shù)，則f(A)也是勒貝格可測(cè)的。

簡(jiǎn)要地說，

的勒貝格可測(cè)子集組成一個(gè)含所有區(qū)間及其笛卡爾積的σ代數(shù)，且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足

的測(cè)度。

勒貝格測(cè)度是 σ-有限測(cè)度。

零測(cè)集

的子集是零測(cè)集，如果對(duì)于每一個(gè)

，它都可以用可數(shù)個(gè)n個(gè)區(qū)間的乘積來覆蓋，其總體積最多為ε。所有可數(shù)集都是零測(cè)集。

如果

的子集的豪斯多夫維數(shù)小于n，那么它就是關(guān)于n維勒貝格測(cè)度的零測(cè)集。在這里，豪斯多夫維數(shù)是相對(duì)于

上的歐幾里得度量（或任何與其等價(jià)的利普希茨度量）。另一方面，一個(gè)集合可能拓?fù)渚S數(shù)小于n，但具有正的n維勒貝格測(cè)度。一個(gè)例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓?fù)渚S數(shù)為0，但1維勒貝格測(cè)度為正數(shù)。

為了證明某個(gè)給定的集合A是勒貝格可測(cè)的，我們通常嘗試尋找一個(gè)“較好”的集合B，與A只相差一個(gè)零測(cè)集，然后證明B可以用開集或閉集的可數(shù)交集和并集生成。

勒貝格測(cè)度的結(jié)構(gòu)

勒貝格測(cè)度的現(xiàn)代結(jié)構(gòu)，基于外測(cè)度，是卡拉特奧多里發(fā)明的。

固定

，

中的盒子是形如

的集合，其中

。這個(gè)盒子的體積

定義為

對(duì)于任何

的子集A，我們可以定義它的外測(cè)度

：

是可數(shù)個(gè)盒子的集合，它的并集覆蓋了

。然后定義集合A為勒貝格可測(cè)的，如果對(duì)于所有集合

，都有：

這些勒貝格可測(cè)的集合形成了一個(gè)σ代數(shù)。勒貝格測(cè)度定義為

對(duì)于任何勒貝格可測(cè)的集合A。

根據(jù)維塔利定理，存在實(shí)數(shù)

的一個(gè)勒貝格不可測(cè)的子集。如果A是

的任何測(cè)度為正數(shù)的子集，那么A便有勒貝格不可測(cè)的子集。

與其他測(cè)度的關(guān)系

在所定義的集合上，博雷爾測(cè)度與勒貝格測(cè)度是一致的；然而，仍然有更多勒貝格可測(cè)的集合不是博雷爾可測(cè)的。博雷爾測(cè)度是平移不變的，但不是完備的。

哈爾測(cè)度可以定義在任何局部緊群上，是勒貝格測(cè)度的一個(gè)推廣（帶有加法的

是一個(gè)局部緊群）。

豪斯多夫測(cè)度（參見豪斯多夫維數(shù)）是勒貝格測(cè)度的一個(gè)推廣，對(duì)于測(cè)量

的維數(shù)比n低的子集是很有用的，例如

內(nèi)的曲線或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫測(cè)度與豪斯多夫維數(shù)的概念混淆。

可以證明，在無窮維空間不存在勒貝格測(cè)度的類似物。

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