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拉格朗日乘數(shù)法是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。 這種方法將一個有n個變量與k個約束條件的最優(yōu)化問題轉換為一個有n+k個變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。拉格朗日乘數(shù)法
本詞條是多義詞，共2個義項
尋找多元函數(shù)的極值的方法
拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個有n個變量與k個約束條件的最優(yōu)化問題轉換為一個有n+k個變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。
條件極值是限制在一個子流形上的極值，條件極值存在時無條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
基本信息
| 中文名 | 拉格朗日乘數(shù)法 |
| 外文名 | Lagrange Multiplier Method |
| 表達式 | L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z) |
| 提出者 | Joseph Lagrange |
| 提出時間 | 1791年 |
| 應用學科 | 高等數(shù)學 微觀經(jīng)濟學 |
| 適用領域 | 函數(shù)、多元函數(shù)極值 |
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基本內(nèi)容
定義介紹
，其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即
L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，
L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，
φ(x,y)=0
由上述方程組解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點。
證明
以三元函數(shù)為例，即求目標函數(shù)：u=f(x,y,z) 在限制條件：①G（x,y,z）=0 ② H（x,y,z）=0下的極值。
假定f,G,H具有連續(xù)的偏導數(shù)，且Jacobi矩陣：
在滿足約束條件的點處是行滿秩，即Rank(J)=2。
先考慮取到條件極值的必要條件，上述約束條件實際是空間曲線的方程。設曲線上一點(,,) 為條件極值點，由于在該點處rank(J)=0，不妨假設在(,,)點處，則由隱函數(shù)存在定理，在點（,,)附近由該方程可以確定 y=y(x),z=z(x)，其中=y(),=z()，它是這個曲線方程的參數(shù)形式。
的無條件極值問題，是函數(shù)（x）的極值點，因此有'（x）=0。
也就是
這說明向量gradf(,,)與向量正交，即與曲線在點(,,)的切向量正交，因此這點的梯度grad f(,,)可以看做是曲線在點 (,,) 處的法平面上的向量。在根據(jù)平面上任意一個向量都可以有一對不共線的向量線性表示，又由于這個法平面是由grad G(x0,y0,z0)與gradH(,,)張成的，因此，存在常數(shù)a,b使得gradf(,,)=a*grad G(x0,y0,z0)+b*gradH(x0,y0,z0)。
這就是點(,,)為條件極值點的必要條件。
將上述方程寫成分量的形式，就可以得到。
求極值
求函數(shù)f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下的極值
方法（步驟）是：
1.做拉格朗日函數(shù)L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ稱拉格朗日乘數(shù)
2.求L分別對x,y,z,λ求偏導，得方程組，求出駐點P(x,y,z)
如果這個實際問題的最大或最小值存在，一般說來駐點唯一，于是最值 可求.
條件極值問題也可以化為無條件極值求解，但有些條件關系比較復雜，代換和運算很繁，而相對來說,“拉格朗日乘數(shù)法”不需代換，運算簡單一點。這就是優(yōu)勢.
條件φ(x,y,z)一定是個等式，不妨設為φ(x,y,z)=m
則再建一個函數(shù)g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m
g(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)
在許多極值問題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設計一個容積為 V的長方體形開口水箱，確定長、寬和高, 使水箱的表面積最小. 設水箱的長、寬、高分別為 x,y,z，則水箱容積V=xyz
焊制水箱用去的鋼板面積為 S=2xz+2yz+xy
這實際上是求函數(shù) S 在 V 限制下的最小值問題。
這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值問題，其一般形式是在條件
限制下，求函數(shù)F的極值
條件極值與無條件極值的區(qū)別
條件極值是限制在一個子流形上的極值，條件極值存在時無條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
從其幾何圖形可以看出整個馬鞍面沒有極值點，但限制在馬鞍面被平面 平面所截的曲線上，有極小值 1，這個極小值就稱為條件極值。
必要條件
設在約束條件之下求函數(shù)的極值。滿足約束條件的點 是函數(shù)的條件極值點, 且在該點函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時, 由方程定隱函數(shù) , 于是點就是一元函數(shù)的極限點, 有
代入 , 就有
( 以下 均表示相應偏導數(shù)在點 的值 . )
Lagrange乘數(shù)法 :
由上述討論可見 , 函數(shù) 在約束條件之下的條件極值點應是方程組
的解.
引進所謂Lagrange函數(shù)
( 稱其中的實數(shù) 為Lagrange乘數(shù) )
則上述方程組即為方程組
因此，解決條件極值通常有兩種方法
1）直接的方法是從方程組（1）中解出 并將其表示為 代入 消去 成為變量為 的函數(shù)將問題化為函數(shù)無條件極值問題；
2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出 來是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數(shù)法，是免去解方程組（1）的困難，將求 的條件極值問題化為求下面拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點問題，然后根據(jù)所討論的實際問題的特性判斷出哪些穩(wěn)定點是所求的極值的。
3）在給定的條件下，若是可以將未知數(shù)代換或是解出，則可以將條件極值轉化為無條件極值，從而避免引入拉格朗日乘數(shù)的麻煩。
注意：▽φ(x,y,z)=0 且 φ(x,y,z)=0的點不會被該方法計算到，因此，若求最大值或最小值時，應把這些點列出來并單獨計算。
解題思路
我們知道, 對于"限制條件為等式,x值均為正值"的最大化問題, 滿足最大化的x組合一定滿足:F(i)(x*)-Σλj Gj(i)(x*)=0, i=1,2,3,.....n, j=1,2,...m. 從這里我們看到，如果限制條件 Gj(x*)=cj 中的 cj 變化 dcj , 如果全部作用于x(i),那么引起的dx(i)=dcj/Gj(i)(x*),從而導致目標方程取值變化dF=F(i)(x*)dcj/Gj(i)(x*)=λj*dcj [注意：對于同一個限制條件j,我們由上一節(jié)已經(jīng)知道必然有: F(i)(x*)/Gj(i)(x*)=F(i')(x*)/Gj(i')(x*)=λj (i不等于i')]. 那么我們得到:λj=dF/dcj.也就是說，拉格朗日乘數(shù)其實代表的是cj對最大化目標函數(shù)F的邊際影響. 雖然這里考慮的是僅僅cj發(fā)生變化，我們可以對此加以推廣，比如整體的c向量發(fā)生變化到 c+dc, dc是一個m-維向量, 那么F的總變化量dF就是Σλj dCj, j=1,2,...m.
舉一個具體的實例: 假如一個計劃經(jīng)濟體系下，政府實施如前所述的最大化問題(在有限資源如勞動力，自然礦產(chǎn)，人力資本等的限制下使社會整體效用/福利最大化),并已經(jīng)找到了滿足最大化條件的x組合. 假設萬能的上帝允許該國的勞動力資源可以額外增加dc1, 那么根據(jù)拉格朗日乘數(shù)的經(jīng)濟學含義我們知道給整個社會帶來的福利將是λ1*dc1. 但是上帝說：要獲得這個額外的勞動力資源，你們必須以一定數(shù)量的其他資源比如土地來跟我交換，以示公平。那么我們?nèi)祟愓撃枚嗌偻恋貋砀系蹞Q呢？指定該土地數(shù)量為dx2,那么由此減少的社會福利是λ2*dc2. 如果λ1*dc1>λ2*dc2,上帝不會答應，如果反之我們不會答應。所以必然有λ1*dc1=λ2*dc2,也就是dc2=(λ1/λ2)dc1. 學過初級微觀的朋友馬上可以看出，這跟微觀經(jīng)濟學中相對價格的概念十分相似。相對價格反映物與物之間的交換價值，即人們愿意怎么樣進行物與物的交換。不同的是，這里的價格不是以錢來計算，而是以社會福利來衡量；這里的相對價格λ1/λ2中的λ1和λ2是基于解決社會福利最大化問題而計算出來的，不同于市場中的價格P1,P2. 由于這個原因，我們把λ叫做"影子價格"(shadow price). 如果我們偶爾發(fā)現(xiàn)某個市場經(jīng)濟下市場價格之比恰恰等于影子價格之比，我們稱這個市場被一雙看不見的手所指引，因為該市場居然可以自發(fā)調整解決社會福利的最大化問題.
再來考慮"限制條件為非等式"的情況. 我們知道市場價格通常都不可能為零或負數(shù)。但是影子價格確不同，它描述的是限制方程右方cj對整體目標函數(shù)值的邊際影響。在限制條件Gj為非等式的情況下，增加額外的cj不一定就意味著目標函數(shù)值的增加。比如, 限制條件為"社會某消費產(chǎn)品不得高于cj",目標函數(shù)為投資量。如果cj提高，那么消費該產(chǎn)品增加，導致投資量減少，目標函數(shù)值減少。這時影子價格就是一個負值。再比如，目標函數(shù)為產(chǎn)量，限制條件為"同時參加勞動的工人數(shù)量不得高于cj".如果cj增加，那么同時勞動的工人數(shù)量增加，可能導致勞動力邊際產(chǎn)量遞減效應的發(fā)生，這時總產(chǎn)量可能不增反降。這時我們情愿不增加工人；換句話說，我們情愿把一些資源放在一旁不予利用(free dsiposal).這時候再增加這些勞動力資源，對總產(chǎn)量已經(jīng)沒有作用了，所以影子價格為零. 事實上，根據(jù)前一節(jié)所述的庫恩-塔克定理，這一點是很明顯的。庫恩-塔克定理說，滿足最大化問題解的x一定使得下面的條件滿足:
Lλ(x, λ)>=0, λ>=0, 互補松散
就是說，如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)>0, 那么說明有資源余缺閑置，這時λ=0.如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)=0,那么說明資源全部被使用，其邊際效用λ>0.
注意：這里我們通過對拉格朗日乘數(shù)的解釋考查了cj的微小變動dcj對目標函數(shù)最大值的變化的影響，這就是開篇所說的比較靜態(tài)研究--研究參數(shù)θ的變化對最大值的影響。所以我們在進行比較靜態(tài)研究的時候必須把目標函數(shù)看成是同時關于x和參數(shù)θ的函數(shù). 基于這一點，我們從另一個角度來看λ的確定. 考察參數(shù)cj,如果cj變化一點點到cj+dcj,那么相應地最佳組合x*變動到x*+dx*,最大目標值也由F(x*)變化為F(x*+dx*).由泰勒一階展開我們得到: dF=F(x*+dx*)-F(x*)=Fx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj.根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法一階必要條件，我們有:Fx(x*)=λj Gx(x*),所以dF=λj Gx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj=λj Gx(x*)dx*,我們又知道根據(jù)限制條件方程G(x*)=cj,在cj變化到cj+dcj的過程中,Gx(x*)dx*=dcj,所以dF=λj dcj.同樣推導出了λ的定義式. 更一般地，如果F和G都是關于x和參數(shù)θ的函數(shù)，如果參數(shù)θ變動到θ+dθ,x隨之變動到x+dx,那么:
dF=F(x+dx,θ+dθ)-F(x,θ)=Fx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ=λGx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ...(1)
由于G是關于x和θ的函數(shù)G(x,θ)=c,所以在θ變化的過程中始終有
Gx(x,θ)dx+Gθ(x,θ)dθ=dc...................................................(2)
拉格朗日乘數(shù)法
代入(1)式，我們得到:
dF=λdc -λGθ(x,θ)dθ+Fθ(x,θ)dθ=Lθ(x,λ,θ)dθ+λdc....................(3)
這就是最一般化的比較靜態(tài)公式。我們在研究影子價格λ的時候，沒有考慮任何參數(shù)θ的變化，所以公式(3)的第一項為零，這樣dF=λdc.反之，我們在某些情況下不考慮c的變化，而側重于參數(shù)θ的變化，這時公式(3)變化為: dF=Lθ(x,λ,θ)dθ.如果只有函數(shù)F跟θ有關，而G跟θ無關，那么公式(3)簡化為dF=Fθ(x,θ)dθ. 注意:1. 在參數(shù)θ變化的過程中,θ-->θ+dθ,x-->x+dx,但是對目標函數(shù)值的影響卻只要考慮拉格朗日函數(shù)對θ的偏微分，而且該偏微分在原來最優(yōu)點x處取值。這是我們用泰勒一階展開應該得到的結論. 2.這里的x雖然沒有標上星號*,但不言自明的是它們都應該是最優(yōu)組合，而且它們也都是關于參數(shù)θ的函數(shù)x(θ). 如果我們把最大化了的F定義成一個新函數(shù)最優(yōu)目標方程V(θ),那么由剛剛推導出來的公式(3): dF=Fθ(x,θ)dθ 我們有 Vθ(θ)=Fθ(x(θ),θ). 再次提醒注意，這里的x(θ)是滿足最大化條件的最優(yōu)點。如果我們再定義一個普通目標函數(shù)F(x',θ),但是這里的x'是任意值，不一定是最優(yōu)點x(θ).假設對應這個x'的能使 F 函數(shù)值最大的θ是θ'.那么V(θ)在θ'點處的斜率為:Vθ(θ')=Fθ(x(θ'),θ'). 但我們知道,x(θ')=x'.所以Fθ(x(θ'),θ')=Fθ(x',θ').而后者就是函數(shù)F(x',θ)在點θ'的斜率。這就是說，函數(shù)V(θ)和函數(shù)F(x',θ)在點(x',θ')處的斜率相等. 這個結論對于x'取任意一個固定值都是成立的，所以從幾何圖形上來看，見圖示，最優(yōu)目標函數(shù)V(θ)把普通目標函數(shù)曲線族緊緊包圍住。因此,dF=Fθ(x,θ)dθ 往往又稱為"包絡定理"(envelope theorem). 微觀經(jīng)濟學里面的短期成本和長期成本之間的關系就是符合信封定理的，因為這里的成本都是滿足了成本最小化之后的成本。
均衡原則
微觀經(jīng)濟學研究消費者行為時，所要闡述的核心問題是消費者均衡的原則。所謂消費者均衡指的是一個有理性的消費者所采取的均衡購買行為。進一步說，它是指保證消費者實現(xiàn)效用最大化的均衡購買行為。
但人的需要或欲望是無限的，而滿足需要的手段是有限的。所以微觀經(jīng)濟學所說的效用最大化只能是一種有限制的效用最大化。而這種限制的因素就是各種商品的價格和消費者的貨幣收入水平。
首先，我們先引入一些名詞解釋:
總效用(TU):消費者在一定時間內(nèi)消費一定數(shù)量某種商品或商品組合所得到的總的滿足。
邊際效用(MU):消費者在所有其它商品的消費水平保持不變時，增加消費一單位某種商品所帶來的滿足程度的增加，也就是說指增加一單位某種商品所引起的總效用的增加。
商品數(shù)量(Q)，商品價格(P), 收入(I)
邊際效用的公式表達為:MU=?TU/?Q
那么如何才能實現(xiàn)在制約條件下效用最大化的商品組合呢？
就是當消費者把全部收入用于購買各種商品時，他從所購買的每一種商品所得到的邊際效用與其價格的比例都相同，這樣的商品組合就是最佳的或均衡的商品組合。
假設當消費者選擇兩種商品x,y時，消費者均衡原則的公式表達為:
MUx/Px = MUy/Py("/"為分數(shù)線）
制約條件的公式表達式為:I=Px?Qx+Py?Qy。那么這一結論是如何推導出來的呢？解決這一問題最直接的方法就是拉格朗日乘數(shù)法。
上面說到：在利用偏導數(shù)求多元函數(shù)的極值時，若函數(shù)的自變量有附加條件，則稱之為條件極值。
套用到微觀經(jīng)濟學里面：設效用函數(shù)U(Qx,Qy),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx,Qy)+λ( I-Px?Qx-Py?Qy)，λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導數(shù)，令它們等于零，并與附加條件連立。
即
?L/?Qx=?U/?Qx-λPx=0 ⑴
?L/?Qy=?U/?Qy-λPy=0 ⑵
I-Px?Qx-Py?Qy=0 ⑶
將方程⑴除以方程⑵，得:
?U/?Qx ? Px 即 MUx ? MUy
?U/?Qy Py PX Py
所以，消費者要實現(xiàn)兩種商品的效用最大化，邊際效用的比率應該等于價格比率。
以上是關于x和y兩種商品所說的，是否同樣適用于多種商品呢？答案是肯定的。如果消費者在n種商品中做出選擇，則消費者均衡的原則可表達為:
MU1 ? MU2 ? MU3 ? … ? MUn
P1 P2 P3 Pn
這一結論同樣可用拉格朗日乘數(shù)法證明。
拉格朗日乘數(shù)法可推廣到求n元函數(shù)?(x1,x2,…,xn)在m個附加條件φ(x1,x2,…,xn)下的條件極值。
方法如下:
m
⑴做拉格朗日函數(shù)L(x1,x2,…,xn)=?(x1,x2,…,xn)+ ∑λiφi(x1,…x2);
i=1
⑵求L(x1,…xn)關于x1,…xn的偏導數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即
m
L'xi==?'xi+ ∑λiφ'i=0 ,i=1,2,…,n
i=1
φk(x1,x2,…,xn)=0 ,k=1,2,…,n
求解此方程組，可得到極值點。
回到我們的問題中，設效用函數(shù)U(Qx1,Qx2,…Qxn),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函數(shù):
L=U(Qx1,Qx2,…Qxn )+λ(I-Px1?Qx1-P2?Qy2-…-Pxn?Qxn)，λ為參數(shù)。求L(x1,x2,…xn)對x1,…,xn的一階偏導數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立。
即
?L/?Qx1=?U/?Qx1-λPx1=0 （1）
?L/?Qx2=?U/?Qx2-λPx2=0 （2）
…… …
?L/?Qxn=?U/?Qxn-λPxn=0 （n）
I-Px1?Qx1-P2?Qy2-…-Pxn?Qxn
將方程⑴到(n)相除，即得，
MUx1 ? MUx2 ? … ? MUxn
Px1 Px2 Pn
所以，消費者要實現(xiàn)n種商品的效用最大化，邊際效用的比率應該等于價格比率。
應用舉例
例題一
拋物面被平面 截成一個橢圓. 求該橢圓到坐標
原點的最長和最短距離.
例3求函數(shù) 在條件
下的極小值. 并證明不等式 , 其中 為任意正常數(shù) .
以上面水箱設計為例，看一看拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值的過程
解：這個問題的實質是求函數(shù)
在條件下的最小值問題，應用拉格朗日乘法，令
L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';
dLdx=diff(L,'x')
dLdy=diff(L,'y')
dLdz=diff(L,'z')
dLdv=diff(L,'v')
dLdx =2*z+y+v*y*z
dLdy =2*z+x+v*x*z
dLdz =2*x+2*y+v*x*y
dLdv =x*y*z-V
令 L 的各偏導等零，解方程組求穩(wěn)定點
s1='2*z+y+v*y*z';
s2='2*z+x+v*x*z';
s3='2*x+2*y+v*x*y';
s4='x*y*z-V';
[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)
v =
[ -2*2^(2/3)/V^(1/3)]
[ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]
[ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]
x0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]
y0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]
z0 =[ 1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]
這里顯然只有實數(shù)解才有意義，所以 L 的穩(wěn)定點只有下面一個
又已知所求的問題確實存在最小值，從而解出的穩(wěn)定點就是最小值點，即水箱長寬與為高的2倍時用鋼板最省。
例題二
再看一個條件極值求解問題
拋物面 被平面 截成一個橢圓，求這個橢圓到坐標原點的最長最短距離。(x73)
解 這個問題的實質是求函數(shù)
在條件 與 下的最大、最小值問題，應用拉格朗日乘法，令
L='x^2+y^2+z^2+v*(x^2+y^2-z)+h*(x+y+z-1)';
dLdx=diff(L,'x')
dLdy=diff(L,'y')
dLdz=diff(L,'z')
dLdv=diff(L,'v')
dLdh=diff(L,'h')
dLdx =2*x+2*v*x+h
dLdy =2*y+2*v*y+h
dLdz =2*z-v+h
dLdv =x^2+y^2-z
dLdh =x+y+z-1
s1='2*x+2*v*x+h';
s2='2*y+2*v*y+h';
s3='2*z-v+h';
s4='x^2+y^2-z';
s5='x+y+z-1';
[h,v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4,s5);
x0,y0,z0
x0 =
[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)]
[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)]
[ -1/2+1/2*3^(1/2)]
[ -1/2-1/2*3^(1/2)]
y0 =
[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)]
[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)]
[ -1/2+1/2*3^(1/2)]
[ -1/2-1/2*3^(1/2)]
z0 = -1/2， -1/2， 2-3^(1/2)， 2+3^(1/2)
即 的穩(wěn)定點有兩個
因為函數(shù) 在有界閉集 上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點又恰是兩個，所以它們一個是最大點，另一個是最小，其最大
最小值為。(x73)
x1=-1/2+1/2*3^(1/2);
x2=-1/2-1/2*3^(1/2);
y1=-1/2+1/2*3^(1/2);
y2=-1/2-1/2*3^(1/2);
z1=2-3^(1/2);
z2=2+3^(1/2);
f1=(x1^2+y1^2+z1^2)^(1/2)
f2=(x2^2+y2^2+z2^2)^(1/2)
f1 = 0.5829 ; f2 = 4.2024
例題三
求此方程的最大值：
同時未知數(shù)滿足：
因為只有一個未知數(shù)的限制條件，我們只需要用一個乘數(shù)
.
將所有
方程的偏微分設為零，得到一個方程組，最大值是以下方程組的解中的一個：
貢獻人
約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）
法國數(shù)學家、物理學家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數(shù)學方面的成就最為突出。
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阿拉伯埃及共和國（阿拉伯語：????????????????????，英語：The Arab Republic of Egypt），簡稱“埃及”。位于非洲東北部，地處歐亞非三大洲的交通要沖。南接蘇丹，西連利比亞，東臨紅海與巴勒斯坦、以色列接壤，北經(jīng)地中海與歐洲隔海相通，東南與約旦和沙特阿拉伯相望。海
塔里木盆地（英文：Tarim Basin，維吾爾語：????? ??????????）是中國面積最大的內(nèi)陸盆地。位于新疆維吾爾自治區(qū)南部，西起帕米爾高原東麓，東到羅布泊洼地，南臨昆侖山、阿爾金山，北倚天山山脈，東西長1400千米，南北寬約550千米，面積約56萬平方千米，大體呈菱形，經(jīng)緯度范圍為34
黃酮黃酮類化合物的總稱黃酮（flavone），是黃酮類化合物的總稱，泛指兩個具有酚羥基的苯環(huán)（A-與B-環(huán)）通過中央三碳原子相互連結而成的一系列化合物。黃酮類化合物結構中常連接有酚羥基、甲氧基、甲基、異戊烯基等官能團。黃酮類化合物（英語：Flavonoid，又稱類黃酮）是指基本母核為2-苯基色原酮類化合物，現(xiàn)在則泛指兩個具有酚羥基的苯環(huán)通過中央三碳原子相互連接的一系列化合物。他們來自于水果、蔬菜、
劍橋大學世界著名的公立研究型大學劍橋大學（英文名稱：University of Cambridge；勛銜：Cantab），坐落于英國劍橋，是一所世界著名的公立研究型大學，采用書院聯(lián)邦制。其與牛津大學、倫敦大學學院、帝國理工學院、倫敦政治經(jīng)濟學院同屬“G5超級精英大學”。劍橋大學是英語世界中第二古老的大學，前身是一個于1209年成立的學者協(xié)會。八百多年的校史匯聚了牛頓、開爾文、麥克斯韋、玻爾、霍金、
尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒寫！
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