全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（每年9月中旬左右舉辦的數(shù)學(xué)競(jìng)賽）

聯(lián)盟簡(jiǎn)介

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

競(jìng)賽分為一試和二試，在這項(xiàng)競(jìng)賽中取得優(yōu)異成績(jī)的全國(guó)約400名學(xué)生有資格參加由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)奧林匹克委員會(huì)主辦的“中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO)暨全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng)”(每年11月)。各省的參賽名額由4人到30人不等，視該省當(dāng)年的聯(lián)賽考試成績(jī)而定，且對(duì)于承辦方省份有一定額外的優(yōu)惠。

為了促進(jìn)拔尖人才的盡快成長(zhǎng)，教育部規(guī)定：在高中階段獲得全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽省、市、自治區(qū)賽區(qū)一等獎(jiǎng)?wù)弑惬@得保送重點(diǎn)大學(xué)的資格，對(duì)于沒(méi)有保送者在高考中加分，加分情況根據(jù)各省市政策而定，有些省、市、自治區(qū)保留了競(jìng)賽獲獎(jiǎng)?wù)吒呖技?分到20分不等，而部分省級(jí)行政區(qū)已經(jīng)取消了競(jìng)賽加分。對(duì)二、三等獎(jiǎng)獲得者，各省、市、自治區(qū)又出臺(tái)了不同的政策，其中包括自主招生資格等優(yōu)惠錄取政策。為嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)每年限定一等獎(jiǎng)名額1000名左右，并劃分到各省、市、自治區(qū)。各省、市、自治區(qū)在上報(bào)一等獎(jiǎng)候選人名單的同時(shí)，還要交上他們的試卷，最終由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)對(duì)其試卷審核后確定獲獎(jiǎng)名單。

在華羅庚、蘇步青等老一輩數(shù)學(xué)家的倡導(dǎo)下，從1956年起，開(kāi)始舉辦中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，在北京、上海、福建、天津、南京、武漢、成都等省市都開(kāi)展了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，并舉辦了由京、津、滬、粵、川、遼、皖合辦的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽。

1979年，我國(guó)大陸上的29個(gè)省、市、自治區(qū)都舉辦了中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽。

1980年，在大連召開(kāi)的第一屆全國(guó)數(shù)學(xué)普及工作會(huì)議上確定將數(shù)學(xué)競(jìng)賽作為中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)及各省、市、自治區(qū)數(shù)學(xué)會(huì)的一項(xiàng)經(jīng)常性工作，每年10月中旬的第一個(gè)星期日舉行“全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”。

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽旨在選拔在數(shù)學(xué)方面有突出特長(zhǎng)的同學(xué)，讓他們進(jìn)入全國(guó)知名高等學(xué)府，而且選拔成績(jī)比較優(yōu)異的同學(xué)進(jìn)入更高級(jí)別的競(jìng)賽，直至國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）。并且通過(guò)競(jìng)賽的方式，培養(yǎng)中學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生們愛(ài)好數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生們的鉆研精神，獨(dú)立思考精神以及合作精神。

比賽規(guī)則

《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱（修訂稿）》

中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)制定

在“普及的基礎(chǔ)上不斷提高”的方針指引下，全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)方興未艾，特別是連續(xù)幾年我國(guó)選手在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中取得了可喜的成績(jī)，使廣大中小學(xué)師生和數(shù)學(xué)工作者為之振奮，熱忱不斷高漲，數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)進(jìn)入了一個(gè)新的階段。為了使全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)持久、健康、逐步深入地開(kāi)展，應(yīng)廣大中學(xué)師生和各級(jí)數(shù)學(xué)奧林匹克教練員的要求，特制定《數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱》以適應(yīng)當(dāng)前形勢(shì)的需要。

本大綱是在國(guó)家教委制定的全日制中學(xué)“數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”的精神和基礎(chǔ)上制定的。《教學(xué)大綱》在教學(xué)目的一欄中指出：“要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，激勵(lì)學(xué)生為實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性。”具體作法是：“對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，要通過(guò)課外活動(dòng)或開(kāi)設(shè)選修課等多種方式，充分發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能”，“要重視能力的培養(yǎng)……，著重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時(shí)，要重視培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考和自學(xué)的能力”。

《教學(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競(jìng)賽的最低要求。在競(jìng)賽中對(duì)同樣的知識(shí)內(nèi)容的理解程度與靈活運(yùn)用能力，特別是方法與技巧掌握的熟練程度，有更高的要求。而“課堂教學(xué)為主，課外活動(dòng)為輔”是必須遵循的原則。因此，本大綱所列的課外講授內(nèi)容必須充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，分階段、分層次讓學(xué)生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強(qiáng)基礎(chǔ)，不斷提高。

自2019年起，全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題新規(guī)則如下：

聯(lián)賽分為一試、加試（即俗稱的“二試”）。各個(gè)省份自己組織的“初賽”、“初試”、“復(fù)賽”等等，都不是正式的全國(guó)聯(lián)賽名稱及程序。

一試和加試均在每年9月中旬的第一個(gè)周日舉行。

一試考試時(shí)間為8：00—9：20，共80分鐘，包括8道填空題（每題8分）和3道解答題（分別為16分、20分、20分），滿分120分。

二試考試時(shí)間為9：40—12：30，共170分鐘，包括4道解答題，涉及平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四個(gè)方面。前兩題每題40分，后兩題每題50分，滿分180分。?

依據(jù)考試結(jié)果評(píng)選出各省級(jí)賽區(qū)級(jí)一、二、三等獎(jiǎng)。其中一等獎(jiǎng)由各省負(fù)責(zé)閱卷評(píng)分，然后將一等獎(jiǎng)的考卷寄送到主辦方（當(dāng)年的主辦方），由主辦方復(fù)評(píng)，最終由主管單位（中國(guó)科協(xié)）負(fù)責(zé)最終的評(píng)定并公布。二、三等獎(jiǎng)由各個(gè)省自己決定。

各省、市、自治區(qū)賽區(qū)一等獎(jiǎng)排名靠前的同學(xué)可參加中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）。

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一試競(jìng)賽大綱，完全按照全日制中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，即高考所規(guī)定的知識(shí)范圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微積分初步不考。

1、平面幾何

基本要求：掌握高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱所確定的所有內(nèi)容。

補(bǔ)充要求：面積和面積方法。

幾個(gè)重要的極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)--費(fèi)馬點(diǎn)。到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)--重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)--重心。

幾何不等式。

簡(jiǎn)單的等周問(wèn)題。了解下述定理：

在周長(zhǎng)一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。

在周長(zhǎng)一定的簡(jiǎn)單閉曲線的集合中，圓的面積最大。

在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長(zhǎng)最小。

在面積一定的簡(jiǎn)單閉曲線的集合中，圓的周長(zhǎng)最小。

幾何中的運(yùn)動(dòng)：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。

復(fù)數(shù)方法、向量方法。

平面凸集、凸包及應(yīng)用。

2、代數(shù)

在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：

周期函數(shù)與周期，帶絕對(duì)值的函數(shù)的圖像。

三倍角公式，三角形的一些簡(jiǎn)單的恒等式，三角不等式。

第二數(shù)學(xué)歸納法。

遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。

函數(shù)迭代，求n次迭代，簡(jiǎn)單的函數(shù)方程。

n個(gè)變?cè)钠骄坏仁剑挛鞑坏仁剑判虿坏仁郊皯?yīng)用。

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，歐拉公式，棣莫佛定理，單位根，單位根的應(yīng)用。

圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡(jiǎn)單的組合恒等式。

一元n次方程（多項(xiàng)式）根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理。

簡(jiǎn)單的初等數(shù)論問(wèn)題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無(wú)窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費(fèi)馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)。

3、立體幾何

多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。

正多面體，歐拉定理。

體積證法。

截面，會(huì)作截面、表面展開(kāi)圖。

4、平面解析幾何

直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。

二元一次不等式表示的區(qū)域。

三角形的面積公式。

圓錐曲線的切線和法線。

圓的冪和根軸。

5、其它

抽屜原理。

容斥原理。

極端原理。

集合的劃分。

覆蓋。

梅涅勞斯定理

托勒密定理

西姆松線的存在性及性質(zhì)(西姆松定理)。

賽瓦定理及其逆定理。

（修訂討論稿）

中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)制定

（2006年8月）

從1981年中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)舉辦全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽以來(lái)，在“普及的基礎(chǔ)上不斷提高”的方針指導(dǎo)下，全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)方興未艾，每年一次的數(shù)學(xué)競(jìng)賽吸引了上百萬(wàn)學(xué)生參加。1985年我國(guó)步入國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克殿堂，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)課外教育的國(guó)際交流，20年來(lái)我國(guó)已躋身于IMO強(qiáng)國(guó)之列。數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)對(duì)于開(kāi)發(fā)學(xué)生智力、開(kāi)拓視野、促進(jìn)教學(xué)改革、提高教學(xué)水平、發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才都有著積極的作用。這項(xiàng)活動(dòng)也激勵(lì)著廣大青少年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，吸引他們?nèi)ミM(jìn)行積極的探索，不斷培養(yǎng)和提高他們的創(chuàng)造性思維能力。數(shù)學(xué)競(jìng)賽的教育功能顯示出這項(xiàng)活動(dòng)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要組成部分。

為了使全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)持久、健康、逐步深入地開(kāi)展，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)于1994年制定了《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱》，這份大綱的制定對(duì)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)的開(kāi)展起到了很好的指導(dǎo)性作用，我國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)日趨規(guī)范化和正規(guī)化。

同時(shí)，隨著國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)的發(fā)展，對(duì)競(jìng)賽活動(dòng)所涉及的知識(shí)、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原來(lái)的《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱》已經(jīng)不能適應(yīng)新形勢(shì)的發(fā)展和要求。經(jīng)過(guò)廣泛征求意見(jiàn)和多次討論, 對(duì)《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱》進(jìn)行了修訂。

本大綱是在《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》的精神和基礎(chǔ)上制定的。《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》指出：“要促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展，既要為所有的學(xué)生打好共同基礎(chǔ)，也要注意發(fā)展學(xué)生的個(gè)性和特長(zhǎng)；……在課內(nèi)外教學(xué)中宜從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，兼顧學(xué)習(xí)有困難和學(xué)有余力的學(xué)生，通過(guò)多種途徑和方法，滿足他們的學(xué)習(xí)需求，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能。”

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑、富有個(gè)性的過(guò)程，不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)閱讀自學(xué)、自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。教師要根據(jù)學(xué)生的不同基礎(chǔ)、不同水平、不同興趣和發(fā)展方向給予具體的指導(dǎo)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)的思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于學(xué)有余力并對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生，教師要為他們?cè)O(shè)置一些選學(xué)內(nèi)容，提供足夠的材料，指導(dǎo)他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能。

教育部2000年《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競(jìng)賽的最低要求。在競(jìng)賽中對(duì)同樣的知識(shí)內(nèi)容，在理解程度、靈活運(yùn)用能力以及方法與技巧掌握的熟練程度等方面有更高的要求。“課堂教學(xué)為主，課外活動(dòng)為輔”是必須遵循的原則。因此本大綱所列的課外講授內(nèi)容必須充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，使不同程度的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到相應(yīng)的發(fā)展，并且要貫徹“少而精”的原則。

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識(shí)范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(加試)在知識(shí)方面有所擴(kuò)展，適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容，所增加內(nèi)容是：

1．平面幾何

西姆松定理；

三角形旁心、費(fèi)馬點(diǎn)、歐拉線；

幾何不等式；

幾何極值問(wèn)題；

幾何中的變換：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)；

圓的冪和根軸

面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法。

2．代數(shù)

周期函數(shù)，帶絕對(duì)值的函數(shù)；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數(shù)

遞歸，遞歸數(shù)列及其性質(zhì)，一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式；

第二數(shù)學(xué)歸納法；

均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數(shù)及其應(yīng)用；

復(fù)數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；

多項(xiàng)式的除法定理、因式分解定理，多項(xiàng)式的相等，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根*，多項(xiàng)式的插值公式*；

n次多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理；

函數(shù)迭代，求n次迭代*，簡(jiǎn)單的函數(shù)方程*。

3．初等數(shù)論

同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程組，高斯函數(shù)[x]，費(fèi)馬小定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)，無(wú)窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。

4．組合問(wèn)題

圓排列，有重復(fù)元素的排列與組合，組合恒等式；

組合計(jì)數(shù)，組合幾何；

抽屜原理；

容斥原理；

極端原理；

圖論問(wèn)題；

集合的劃分；

覆蓋；

平面凸集、凸包及應(yīng)用*。

有*號(hào)的內(nèi)容加試中暫不考，但在冬令營(yíng)中可能考。

獲獎(jiǎng)名單