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高斯定理（應用于數(shù)學等學科的理論）

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高斯定理

應用于數(shù)學等學科的理論

對于一個矢量場V，其散度的體積分等于V在此體積表面上的法向分量的面積分，上述定理被成為高斯定理（英文：Gauss's law），又稱為散度定理（Divergence theorem）。

基本信息

中文名

高斯定理

英文名

Gauss's law，Divergence theorem

提出時間

1813年

相關人物

奧斯特洛格拉特斯基、高斯

高斯定理把矢量場通過曲面的流動(即通量)與曲面內(nèi)部的向量場的表現(xiàn)聯(lián)系了起來，將復雜的曲面積分計算轉化為較為簡單的三重積分運算，在電磁學等領域中也具有運用。

基本概念

若某封閉區(qū)域空間

的邊界

由光滑或分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)P(x,y,z)，Q(x;y,z)，R(x.y,z)在

上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則

式中

是邊界曲面

的外側，稱上式為高斯定理，也稱為高斯公式或散度定理。此定理揭示了空間區(qū)域

上的三重積分與沿

的邊界曲面

的面積分之間的關系。

高斯定理能夠?qū)⒂嬎銖碗s的曲面積分轉化為較為簡單的三重積分運算，運用高斯定理還能得出許多有用的推論。

證明

首先假設

是體單連通域，如右圖所示構建空間直角坐標系，則

其中

為有界封閉區(qū)域，函數(shù)

在定義域

上連續(xù)，分別記為

，則有

當

為更一般的區(qū)域時，可以利用平行于某一坐標平面的平面將該區(qū)域分割為若干體單連通域，在這些子區(qū)域中均滿足上述公式，累加仍可得到上述結果。

同理可證：

將上述三個等式相加，即得到高斯定理。

歷史

1826年，蘇聯(lián)數(shù)學家奧斯特洛格拉特斯基（Mikhail Ostrogradsky）首先撰文發(fā)表了散度定理。由于德國數(shù)學家約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）在1813年他的著作中已經(jīng)研究了這一定理，只是未及時發(fā)表，因此散度定理也稱為高斯定理。

其他形式

第一類曲面積分形式

由兩類曲面之間的聯(lián)系立即可以給出高斯公式的第一類曲面積分形式：

矢量形式

高斯定理也可以從場論的觀點進行闡釋。場論是運用數(shù)學理論研究某些物理量在空間中的分布狀態(tài)，如果該物理量為標量，如溫度等，則對應的場如溫度場等稱為標量場。如果該物理量為矢量，如速度等，則對應的場如速度場等稱為矢量場。在空間直角坐標系中，一個矢量場

可以表示為：

高斯定理的公式左端可以表示為：

則

稱為矢量場A沿閉合曲面

的外側

穿過的通量。高斯定理的公式左端表示從內(nèi)穿出的正通量與從外穿入的負通量的代數(shù)和，由于指定了

的外側方向，當

表示該矢量場為凈流出，當

表示該矢量場為凈流入。

對于上述的矢量場

，其散度可表示為：

與通量類似，散度也是矢量場的一個重要物理量，表示在場中的某一點處通量對體積的變化率。當散度不為0時，稱該區(qū)域內(nèi)是有源的，當散度恒為0時，則該區(qū)域是無源。

在引入通量和散度的定義后，高斯定理可以表示如下的矢量形式：

從場的觀點來看，高斯定理描述了矢量場在某封閉區(qū)域中的通量和散度之間的關系，即矢量場

穿出封閉曲面的通量等于

的散度在封閉曲面圍成的空間內(nèi)三重積分。

微分形式

若規(guī)定一個作用于

算子

如下：

由散度的定義式可得：

得到結果如下：

上式也稱為高斯定理的微分形式。

電磁場中的高斯定理

靜電場的高斯定理

靜電場中的高斯定理給出了靜電場中通過任一閉合曲面的電通量與該閉合曲面內(nèi)所包圍的電荷之間的量值關系，是靜電場的一條基本定理。具體來說，在真空中的靜電場中，任一閉合面

的電通量

等于該閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和的

分之一，而與閉合面外的電荷無關，公式表示如下：

靜電場的高斯定理同樣適用于恒定電場中。

磁場的高斯定理

在磁場中，對于任意一個閉合曲面，由于磁感線是閉合曲線，即磁感線進入和傳出閉合曲面的數(shù)量總是相等的，因此通過任何閉合曲面的總磁通量必為零，稱為磁場的高斯定理，也稱磁通連續(xù)定理，它表明磁場是無源場，用公式表示如下：

磁場的高斯定理也是麥克斯韋方程組的四個方程之一。

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