轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度）
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轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，它是經(jīng)典力學(xué)中一個(gè)非常重要的概念。了解物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以讓我們更好地預(yù)測(cè)物體在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中的行為。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的SI單位是kg·m2，表示物體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小。對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I等于質(zhì)量m與質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸垂直距離r的平方的乘積，即I=mr2。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)非常重要的物理量，在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，例如機(jī)械工程、航空航天工程等。通過(guò)了解物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，我們可以更好地設(shè)計(jì)和控制物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，以達(dá)到更好的效果。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Moment of Inertia)，又稱質(zhì)量慣性矩，簡(jiǎn)稱慣距，是經(jīng)典力學(xué)中物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，常用用字母I或J表示。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的SI單位為kg·m2。對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，I=mr2，其中，m是其質(zhì)量，r是質(zhì)點(diǎn)和轉(zhuǎn)軸的垂直距離。
基本簡(jiǎn)介
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)、航天、電力、機(jī)械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量。
電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，可分別用于測(cè)量微小電流或電量，譬如檢流計(jì)、沖擊電流計(jì)等。在發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計(jì)上，精確地測(cè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，都是十分必要的。
對(duì)于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體，可以從其外形尺寸、質(zhì)量分布用公式計(jì)算出相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計(jì)算出它相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。而對(duì)于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)精確地測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因而實(shí)驗(yàn)方法顯得更為重要。
動(dòng)力學(xué)公式
角加速度與合外力矩的關(guān)系：
角動(dòng)量：
剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：
注意：這只是剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，其總動(dòng)能應(yīng)該再加上質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能。由這一公式，可以從能量的角度分析剛體動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題。
張量定義
剛體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性可由慣性張量描述。慣性張量是二階對(duì)稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過(guò)該點(diǎn)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小。為了清晰，這里僅給出繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達(dá)式。
設(shè)有一個(gè)剛體A，其質(zhì)心為C,剛體A繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的力矩方程：
設(shè)剛體A所受到的繞其質(zhì)心C的合力矩矢量為：
將上面的矢量形式的力矩方程向各個(gè)坐標(biāo)軸投影，或者，更確切地說(shuō)，與各個(gè)坐標(biāo)軸的單位方向矢量相點(diǎn)乘，就可以獲得各個(gè)坐標(biāo)軸分量方向的標(biāo)量形式的力矩方程。
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量
測(cè)定方法
測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復(fù)擺等。實(shí)驗(yàn)室中最常見(jiàn)的是三線擺法，該方法通過(guò)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其特點(diǎn)是物理圖像清楚、操作簡(jiǎn)便易行、適合各種形狀的物體，如機(jī)械零件、電機(jī)轉(zhuǎn)子、槍炮彈丸、電風(fēng)扇的風(fēng)葉等的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都可用三線擺測(cè)定。這種實(shí)驗(yàn)方法在理論和技術(shù)上有一定的實(shí)際意義。
實(shí)驗(yàn)原理
三線擺是在上圓盤的圓周上，沿等邊三角形的頂點(diǎn)對(duì)稱地連接在下面的一個(gè)較大的均勻圓盤邊緣的正三角形頂點(diǎn)上。當(dāng)上、下圓盤水平三線等長(zhǎng)時(shí)，將上圓盤繞豎直的中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度，借助懸線的張力使懸掛的大圓盤繞中心軸作扭轉(zhuǎn)擺動(dòng)。同時(shí)，下圓盤的質(zhì)心O將沿著轉(zhuǎn)動(dòng)軸升降，H是上、下圓盤中心的垂直距離；h是下圓盤在振動(dòng)時(shí)上升的高度；r是上圓盤的半徑；R是下圓盤的半徑；
由于三懸線能力相等，下圓盤運(yùn)動(dòng)對(duì)于中心軸線是對(duì)稱的，僅分析一邊懸線的運(yùn)動(dòng)。用L表示懸線的長(zhǎng)度，當(dāng)下圓盤扭轉(zhuǎn)一個(gè)角度α?xí)r，下圓盤的懸線點(diǎn)移動(dòng)到，下圓盤上升的高度為，與其他幾何參量的關(guān)系可作如下考慮。
實(shí)驗(yàn)內(nèi)容
2）測(cè)量下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并計(jì)算其不確定度
轉(zhuǎn)動(dòng)三線擺上方的小圓盤，使其繞自身軸轉(zhuǎn)一角度α，借助線的張力使下圓盤作扭擺運(yùn)動(dòng)，而避免產(chǎn)生左右晃動(dòng)。自己擬定測(cè)的方法，使周期的測(cè)量不確定度小于其它測(cè)量量的不確定度。利用公式求出，并推導(dǎo)出不確定度傳遞公式計(jì)算的不確定度。
3）測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
在下圓盤上放上待測(cè)圓環(huán)，注意使圓環(huán)的質(zhì)心恰好在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，測(cè)量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。測(cè)量圓環(huán)的質(zhì)量和內(nèi)、外直徑。利用式求出圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。并與理論值進(jìn)行比較，求出相對(duì)誤差。
4）驗(yàn)證平行軸定理
將質(zhì)量和形狀尺寸相同的兩金屬圓柱重疊起來(lái)放在下圓盤上，注意使質(zhì)心與下圓盤的質(zhì)心重合。測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過(guò)圓柱質(zhì)心時(shí)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。然后將兩圓柱對(duì)稱地置于下圓盤中心的兩側(cè)。測(cè)量此時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。測(cè)量圓柱質(zhì)心到中心轉(zhuǎn)軸的距離計(jì)算，并與測(cè)量值比較。
相關(guān)定理
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量詳解及物理意義
先說(shuō)一說(shuō)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的由來(lái)，先從動(dòng)能說(shuō)起。大家都知道動(dòng)能
把
在這里對(duì)任何物體來(lái)說(shuō)是把物體微分化分為無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)整體的重心的距離為r，而再把不同質(zhì)點(diǎn)積分化得到實(shí)際等效的r，得到
由于某一個(gè)對(duì)象物體在運(yùn)動(dòng)當(dāng)中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個(gè)變量K代替,
平行軸定理
一個(gè)物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)同樣可以視為以同樣的角速度繞平行于z軸且通過(guò)質(zhì)心的固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。也就是說(shuō)，繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)等同于繞過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。
利用平行軸定理可知，在一組平行的轉(zhuǎn)軸對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中，過(guò)質(zhì)心的軸對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。垂直軸定理一個(gè)平面剛體薄板對(duì)于垂直它的平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。
表達(dá)式:
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為L(zhǎng)2M，在SI單位制中，它的單位是
垂直軸定理
一個(gè)平面剛體薄板對(duì)于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，這就是垂直軸定理。
垂直軸定理的表達(dá)式為：
對(duì)于非平面薄板狀的剛體，亦有如下垂直軸定理成立：
剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由此折算所得的質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，其公式為
除以上兩定理外，常用的還有伸展定則。伸展定則闡明，如果將一個(gè)物體的任何一點(diǎn)，平行地沿著一支直軸作任意大小的位移，則此物體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變。可以想像，將一個(gè)物體，平行于直軸地，往兩端拉開。在物體伸展的同時(shí)，保持物體任何一點(diǎn)離直軸的垂直距離不變，則伸展定則闡明此物體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變。伸展定則通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式就可以簡(jiǎn)單得到。
計(jì)算公式
對(duì)于細(xì)桿
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過(guò)桿的中點(diǎn)并垂直于桿時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過(guò)桿的端點(diǎn)并垂直于桿時(shí)，
式中，m是桿的質(zhì)量，L是桿的長(zhǎng)度。
對(duì)于圓柱體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸是圓柱體軸線時(shí)，
對(duì)于細(xì)圓環(huán)
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過(guò)環(huán)心且與環(huán)面垂直時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過(guò)環(huán)邊緣且與環(huán)面垂直時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸沿環(huán)的某一直徑時(shí)，
式中，m是細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量，R是細(xì)圓環(huán)的半徑。
對(duì)于薄圓盤
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心與盤面垂直時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過(guò)邊緣與盤面垂直時(shí)，
式中，m是薄圓盤的質(zhì)量，R是薄圓盤的半徑。
對(duì)于空心圓柱
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為空心圓柱的對(duì)稱軸時(shí)，
對(duì)于球殼
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球殼的中心軸時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球殼的切線時(shí)，
式中，m是球殼的質(zhì)量，R是球殼的半徑。
對(duì)于實(shí)心球體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球體的切線時(shí)，
式中，m是球體的質(zhì)量，R是球體的半徑。
對(duì)于立方體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為立方體的中心軸時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為立方體的棱邊時(shí)，
式中，m是立方體的質(zhì)量，L是立方體的邊長(zhǎng)。
對(duì)于長(zhǎng)方體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為長(zhǎng)方體中心軸時(shí)，
式中，m是長(zhǎng)方體的質(zhì)量，
例題
已知：一個(gè)直徑是80mm的軸，長(zhǎng)度為500mm，材料是鋼材。計(jì)算一下，當(dāng)在0.1秒內(nèi)使它達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的速度時(shí)所需要的力矩？
分析：知道軸的直徑和長(zhǎng)度，以及材料，我們可以查到鋼材的密度，進(jìn)而計(jì)算出這個(gè)軸的質(zhì)量m，由公式
根據(jù)在0.1秒達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的角速度，可以算出軸的角加速度
電機(jī)軸可以認(rèn)為是圓柱體過(guò)軸線，所以：
解得
代入數(shù)據(jù)得 
單位：
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫！
作者
